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Teorema del valor medio (grafico3.bmp)

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Teorema del valor medio: Sea f una función continua en algún intervalo cerrado [a,b], y derivable en (a,b). Entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a,b) tal que: Esta idea es muy similar a la generada para construir el concepto de derivada, a través del concepto de Leibnitz. en el gráfico (a,f(a)) y (b,f(b)) son puntos terminales de la cuerda, mas objetivamente si la cuerda y la tangente son paralelas entonces, ambas tienen la misma pendiente y basta con observar la pendiente en una de ellas para determinar el valor de la derivada. Por ejemplo observemos el triangulo formado: Ejemplo: Verificar el teorema del valor medio para f(x)=x2+2x+1 para a=1 y b=2 f(1)=12+2+1=4 y f(2)=22+2(2)+1=9 De acuerdo al teorema del valor medio hay al menos un número c entre a=1 y b=2 tal que: Encontremos explícitamente el valor de la derivada lo que conduce a resolver la ecuación: f’(x)=2x+2 f´(x)= 2x+2 = 5 por lo que en x =3/2 por lo que existe un valor c para el que se cumple el teorema de Rolle. Valores Máximos y Mínimos Ya sabemos que una función continua en un intervalo cerrado y acotado, alcanza su valor máximo y mínimo.Sin embargo, puede ocurrir que la función tome otros “máximos” y “mínimos” que llamaremos relativos, yaque no coinciden con los absolutos, y se llaman así, ya que podemos hablar de máximos y mínimos parapuntos cercanos a dichos puntos. Definición: a) Si ( ) f x1 es un valor máximo de ( ) f x para x h x x h 1 1 - < < + algún h > 0 , entonces f x ( ) 1 seráun valor máximo relativo de la función.b) Si ( ) f x2 es un valor mínimo de ( ) f x para x h x x h 2 2 - < < + para algún h > 0 , entoncesf x ( ) 2 será un valor mínimo relativo de la función. - A partir de ahora, hablaremos de extremos locales para referirnos a puntos que se corresponden con un valormáximo o mínimo relativo de una función.Teorema: Sea f una función y sea x1 un punto extremo local dicha función. Si f es derivable en x1,entonces se verifica que ( ) ¢ = f x1 0 .. en el gráfico (a,f(a)) y (b,f(b)) son puntos terminales de la cuerda, mas objetivamente si la cuerda y la tangente son paralelas entonces, ambas tienen la misma pendiente y basta con observar la pendiente en una de ellas para determinar el valor de la derivada. Por ejemplo observemos el triangulo formado: Ejemplo: Verificar el teorema del valor medio para f(x)=x2+2x+1 para a=1 y b=2 f(1)=12+2+1=4 y f(2)=22+2(2)+1=9 De acuerdo al teorema del valor medio hay al menos un número c entre a=1 y b=2 tal que: Encontremos explícitamente el valor de la derivada lo que conduce a resolver la ecuación: f’(x)=2x+2 f´(x)= 2x+2 = 5 por lo que en x =3/2 por lo que existe un valor c para el que se cumple el teorema de Rolle.

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Giselle Lorena Nunez Nunez

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es-EC

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